Question

【題目】如圖，在直角坐標系中， B（0，8），D（10，0），一次函數y=x+的圖象過C（16，n），與x軸交于A點。

（1）求證：四邊形ABCD為平行四邊形；

（2）將△AOB繞點O順時針旋轉，旋轉得△A1OB1，問：能否使以點O、A1、D、B1為頂點的四邊形是平行四邊形？若能，求點A1的坐標；若不能，請說明理由；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）能，所求滿足條件的A1為：（―， ）、（， ）、（，―）

【解析】整體分析：

（1）把點過C（16，n）代入到y=x+，求出n，得到點C的坐標，求出點A的坐標，由AD與BC平行且相等證明；（2）分三種情況討論，有兩種是A1B1與OD平行，一種是A1B1與OD相交，結合平行四邊形的性質和勾股定理求解.

解：（1）∵y=x+的圖象過C（16，n），A兩點，∴n=×16+=8，

∴C（16，8），A（－6，0）.

∵B（0，8），∴BD∥x軸，

又∵AD=10―（―6）=16=BC，

∴四邊形ABCD為平行四邊形

（2）由題意可知；AB=A1B1=10，∠AOB=∠A1OB1=90°

①△AOB旋轉后，若A1B1∥x軸，構成四邊形OA1B1D如圖①,

又∵A1B1=OD=10，∴四邊形OA1B1D構成平行四邊形，

此時，設A1B1與y軸交于H，

則OH==，A1H==，

∴A1（―， ）.

②△AOB旋轉后，若A1B1的中點E在x軸上，構成四邊形OA1DB1如圖②.

∵∠A1OB1=90°，∴OE=A1B1=5，∴OE=ED=5，

∴四邊形OA1DB1構成平行四邊形，

設作A1N⊥x軸交于N，∠A1OB1=∠OA1D=90°.

則AN==，ON==，

∴A1（， ）.

③△AOB旋轉后，若A1B1∥x軸，構成四邊形ODA1B1如圖③，

又∵A1B1=OD=10，∴四邊形ODA1B1構成平行四邊形，

此時，設A1B1與y軸交于M，

則OM==，A1M==，

∴A1（，―）.

綜上所述，所求滿足條件的A1為（―， ）、（， ）、（，―）