Question

【題目】如果兩個角之差的絕對值等于45°，則稱這兩個角互為“半余角”，即若|∠α－∠β |＝45°，則稱∠α、∠β互為半余角．（注：本題中的角是指大于0°且小于180°的角）

（1）若∠A＝80°，則∠A的半余角的度數為　　；

（2）如圖1，將一長方形紙片ABCD沿著MN折疊（點M在線段AD上，點N在線段CD上）使點D落在點D′處，若∠AMD′與∠DMN互為“半余角”，求∠DMN的度數；

（3）在（2）的條件下，再將紙片沿著PM折疊（點P在線段BC上），點A、B分別落在點A′、B′處，如圖2．若∠AMP比∠DMN大5°，求∠A′MD′的度數．

Answer 1

【答案】（1）35°或125°；（2）45°或75°；（3）10°或130°.

【解析】

（1）設∠A的半余角的度數為x°，根據半余角的定義列方程求解即可；

（2）設∠DMN為x°.根據折疊的性質和半余角的定義解答即可；

（3）分兩種情況討論：①當∠DMN=45°時，∠DMD'=90°，∠AMP=50°，∠DMA'=80°，根據∠A′MD′=∠DMD'-∠DMA'計算即可.

②當∠DMN=75°時，∠DMD'=150°，∠AMP=80°，∠DMA'=20°，根據∠A′MD′=∠DMD'-∠DMA'計算即可.

（1）設∠A的半余角的度數為x°，根據題意得：

|80°-x|=45°

80°-x=±45°

∴x=80°±45°，

∴x=35°或125°.

（2）設∠DMN為x°，根據折疊的性質得到∠D'MN=∠DMN=x°.

∴∠AMD'=180°－2x.

∵∠AMD′與∠DMN互為“半余角”，

∴|180°－2x－x|=45°，

∴|180°－3x|=45°，

∴180°－3x=45°或180°－3x=－45°，

解得：x=45°或x=75°.

（3）分兩種情況討論：①當∠DMN=45°時，∠D'MN=45°，

∴∠DMD'=90°，∠AMP=∠A'MP=45°+5°=50°，

∴∠DMA'=180°-2∠AMP=80°，

∴∠A′MD′=∠DMD'-∠DMA'=90°-80°=10°.

②當∠DMN=75°時，∠D'MN=75°，

∴∠DMD'=150°，∠AMP=∠A'MP=75°+5°=80°，

∴∠DMA'=180°-2∠AMP=20°，

∴∠A′MD′=∠DMD'-∠DMA'=150°-20°=130°.

綜上所述：∠A′MD′的度數為10°或130°.