Question

【題目】已知:正方形ABCD，等腰直角三角板的直角頂點落在正方形的頂點D處，使三角板繞點D旋轉.

(1)當三角板旋轉到圖1的位置時，猜想CE與AF的數量關系，并加以證明；

(2)在(1)的條件下，若DE:AE:CE= 1: :3，求∠AED的度數；

(3)若BC= 4，點M是邊AB的中點，連結DM，DM與AC交于點O，當三角板的一邊DF與邊DM重合時(如圖2)，若OF=，求CN的長.

Answer 1

【答案】（1）CE=AF；證明見解析；（2）135°；（3）.

【解析】試題分析： （1）由正方形額等腰直角三角形的性質判斷出△ADF≌△CDE即可；

（2）設DE=k，表示出AE，CE，EF，判斷出△AEF為直角三角形，即可求出∠AED；

（3）由AB∥CD，得出，求出DM，DO，再判斷出△DFN∽△DCO，得到 ，求出DN即可．

試題解析：

（1）CE=AF；

證明：在正方形ABCD，等腰直角三角形CEF中，

FD=DE，CD=CA，∠ADC=∠EDF=90°

∴∠ADF=∠CDE，

∴△ADF≌△CDE，

∴CE=AF，

（2）設DE=k，

∵DE：AE：CE=1： ：3

∴AE=k，CE=AF=3k，

∴EF=k，

∵AE2+EF2=7k2+2k2=9k2，AF2=9k2，

即AE2+EF2=AF2

∴△AEF為直角三角形，

∴∠BEF=90°

∴∠AED=∠AEF+DEF=90°+45°=135°；

（3）∵M是AB中點，

∴MA=AB=AD，

∵AB∥CD，
∴，

在Rt△DAM中，DM=，

∴DO=，

∵OF=，

∴DF=,

∵∠DFN=∠DCO=45°，∠FDN=∠CDO，

∴△DFN∽△DCO，

∴,

∴ ,

∴DN=,

∴CN=CD-DN=4-=.