Question

【題目】已知：如圖，直線AB交兩坐標軸于A（a，0）、B（0，b）兩點，且a，b滿足等式：+（b﹣4）2＝0，點P為直線AB上第一象限內的一動點，過P作OP的垂線且與過B點且平行于x軸的直線相交于點Q，

（1）求A，B兩點的坐標；

（2）當P點在直線AB上的第一象限內運動時，AP﹣BQ的值變不變？如果不變，請求出這個定值；若變化請說明理由．

（3）延長QO與直線AB交于點M．請判斷出線段AP，BM，PM三條線段構成三角形的形狀，說明理由．

Answer 1

【答案】(1) A（﹣4，0）、B（0，4）；(2)見解析;(3)見解析.

【解析】

（1）由+（b-4）2直接可求a=-4，b=4；
（2）過點P作PN⊥AP，交x軸于點N，連接QN，則AN=AP，根據角的關系可證QM⊥ON，BQ=ON，AP-BQ=AN-ON=AO=4；
（3）直線AB的解析式y=x+4，設P（m，4+m），分別求出直線PO的解析式為y=x，直線PQ的解析式y=-x+，根據Q點縱坐標與B點縱坐標相同，可求Q（2m+4，4），求出OQ的直線解析式為y=x，M（，），分別將邊表示出來PA2=2（m+4）2，BM2=2，PM2=2，利用勾股定理即可求解；

（1）+（b﹣4）2，

∴a＝﹣4，b＝4，

∴A（﹣4，0）、B（0，4）；

（2）如圖1：過點P作PN⊥AP，交x軸于點N，連接QN，

∵AO＝BO＝4，

∴∠PAN＝45°，

∴AN＝AP，

∵∠BOP＝∠PQO，

∴∠PQO+∠PON＝90°，

∵∠OPQ＝90°，

∴∠BQN+∠QNO＝180°，

∵BQ∥ON，

∴QM⊥ON，

∴BQ＝ON，

∴AP﹣BQ＝AN﹣ON＝AO＝4；

（3）直線AB的解析式y＝x+4，

設P（m，4+m），

直線PO的解析式為y＝x，

∴直線PQ的解析式y＝﹣x+，

∵Q點縱坐標為4，

∴4＝﹣x+時，x＝2m+2，

Q（2m+4，4），

∴OQ的直線解析式為y＝x，

當x＝x+4時，x＝，

∴M（，）

∴PA2＝2（m+4）2，

BM2＝2，

PM2＝2，

∴PA2+BM2＝PM2，

∴線段AP，BM，PM三條線段構成三角形直角三角形；