Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-（x-a）（x-4）（a＜0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．

（1）若D點坐標為（），求拋物線的解析式和點C的坐標；

（2）若點M為拋物線對稱軸上一點，且點M的縱坐標為a，點N為拋物線在x軸上方一點，若以C、B、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形時，求a的值；

（3）直線y=2x+b與（1）中的拋物線交于點D、E（如圖2），將（1）中的拋物線沿著該直線方向進行平移，平移后拋物線的頂點為D′，與直線的另一個交點為E′，與x軸的交點為B′，在平移的過程中，求D′E′的長度；當∠E′D′B′=90°時，求點B′的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+3x+4，C（0，4）；（2）a1=-2-2，a2=；（3）D′E′=2，B′（-1，0）．

【解析】

（1）將點D的坐標代入函數解析式，求得a的值；利用拋物線解析式來求點C的值．
（2）需要分類討論：BC為邊和BC為對角線兩種情況，根據“平行四邊形的對邊平行且相等，平行四邊形的對角線相互平分”的性質列出方程組，利用方程思想解答．
（3）根據平移規律得到D′E′的長度、平移后拋物線的解析式，然后由函數圖象上點的坐標特征求得點B′的坐標．

（1）依題意得：=-（-a）（-4）．

解得a=-1．

∴拋物線解析式為：y=-（x+1）（x-4）或y=-x2+3x+4．

∴C（0，4）．

（2）由題意知：A（a，0），B（4，0），C（0，-4a）．

對稱軸為直線x=，則M（，a）．

①MN∥BC且MN=BC，根據點的平移特征可知N（，-3a）．

則-3a=-（-a）（-4）．

解得：a=-2±2（舍去正值）．

②當BC為對角線時，設N（x，y）．

根據平行四邊形的對角線互相平分可得：．

解得．

則-5a=-（-a）（-4）．

解得a=．（舍去正值）

∴a1=-2-2，a2=．

（3）把D（）代入y=2x+b得到：2×+b=．則b=．

故直線解析式為：y=2x+．

聯立．

解得（舍去），．

∴E（-，）

∴DE=2．

根據拋物線的平移規律，則平移后線段D′E′始終等于2．

設平移后的D′（m，2m+），則E′（m-2，2m-）．

平移后拋物線的解析式為：y=-（x-m）2+2m+．

則D′B′：y=-x+n過點（m，2m+），

∴y=-x+m+，則B′（5m+，0）．

∴-（5m+）+m+=0．

解得m1=-，m2=-．

∴B′1（-1，0），B′2（-，0）（與D′重合，舍去）．

綜上所述，B′（-1，0）．