Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A(﹣1，0)、B(3，0)兩點，與y軸交于點C．

（1）求拋物線的函數解析式；

（2）若直線l：線y＝﹣x+m與該拋物線交于D、E兩點，如圖．

①連接CD、CE、BE，當S△BCE＝3S△CDE時，求m的值；

②是否存在m的值，使得原點O關于直線l的對稱點P剛好落在該拋物線上？如果存在，請直接寫出m的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+；（2）①，②存在，

【解析】

（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）兩點代入y＝﹣x2+bx+c轉化為解方程組即可解決問題．

（2）①首先證明l∥BC，由S△BCE＝3S△CDE，推出BC＝3DE，推出直線l應該在BC的上方，在BC上取一點F，使得BC＝3BF，推出四邊形BEDF是平行四邊形，由C（0，），B（3，0），BC＝3BF，推出F（2，），設D（n，n+m），則E[n+1，（n+1）+m]，將它們代入拋物線的解析式，解方程組即可解決問題．

②如圖2中，過點O作OM⊥BC交拋物線于M或M′．由題意直線l經過OM或OM′的中點，構建方程組求出點M，M′的坐標即可解決問題．

解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）兩點代入y＝﹣x2+bx+c可得：

，

解得：，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+．

（2）①如圖，

對于y＝﹣x2+x+，令x＝0，可得y＝，

∴C（0，），

∵B（3，0），

∴OC＝，OB＝3，

∴tan∠CBO＝，

∴∠CBO＝30°，

∵直線l：y＝﹣x+m與x軸交于N（m，0）與y軸交于M（0，m），

∴tan∠MNO＝＝，

∴∠NMO＝30°＝∠CBO，

∴l∥BC，

∵S△BCE＝3S△CDE，

∴BC＝3DE，

∴直線l應該在BC的上方，

在BC上取一點F，使得BC＝3BF，

∴BF＝DE，

∴四邊形BEDF是平行四邊形，

∵C（0，），B（3，0），BC＝3BF，

∴F（2，），

設D（n，n+m），則E[n+1，﹣（n+1）+m]，將它們代入拋物線的解析式得到：

，

解得：，

∴m的值為．

②如圖2中，過點O作OM⊥BC交拋物線于M或M′．

則直線OM的解析式為y＝x，

由，

解得：或，

∴M（，），M′（，），

由題意直線l經過OM或OM′的中點，

∴或，

解得：m＝．