Question

通過學習三角函數，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角正對（sad），如圖①，在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對記作sadA，這時sadA=底邊/腰=．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據上述角的正對定義，解下列問題：
（1）sad60°=　    　．
（2）對于0°＜A＜180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是　       　．
（3）如圖②，已知sinA=，其中∠A為銳角，試求sadA的值．

Answer 1

解：（1）根據正對定義，
當頂角為60°時，等腰三角形底角為60°，
則三角形為等邊三角形，
則sad60°==1．                 
（2）當∠A接近0°時，sadα接近0，
當∠A接近180°時，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．
于是sadA的取值范圍是0＜sadA＜2．          
（3） 如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A=．
在AB上取點D，使AD=AC，作DH⊥AC，H為垂足，

令BC=3k，AB=5k，則AD=AC==4k，            
又在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A=．
∴DH=ADsin∠A=k，AH==k．
則在△CDH中，CH=AC﹣AH=k，
CD==k．     
于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD=k．
由正對的定義可得：sadA==，即sadα=． 

解析