Question

通過學習三角函數，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉化．類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角正對（sad），如圖①，在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對記作sadA，這時sadA=底邊/腰=

BC

AB

．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據上述角的正對定義，解下列問題：
（1）sad60°=

 

．
（2）對于0°＜A＜180°，∠A的正對值sadA的取值范圍是

 

．
（3）如圖②，已知sinA=

3

5

，其中∠A為銳角，試求sadA的值．

Answer 1

分析：（1）根據等腰三角形的性質，求出底角的度數，判斷出三角形為等邊三角形，再根據正對的定義解答；
（2）求出0度和180度時等腰三角形底和腰的比即可；
（3）作出直角△ABC，構造等腰三角形ACD，根據正對的定義解答．

解答：解：（1）根據正對定義，
當頂角為60°時，等腰三角形底角為60°，
則三角形為等邊三角形，
則sad60°=

1

1

=1．
故答案為：1．

（2）當∠A接近0°時，sadA接近0，
當∠A接近180°時，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．
于是sadA的取值范圍是0＜sadA＜2．
故答案為0＜sadA＜2．

（3）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A=

3

5

．
在AB上取點D，使AD=AC，連接CD，作DH⊥AC，H為垂足，令BC=3k，AB=5k，
 則AD=AC=

(5k)2-(3k)2

 =4k，
又在△ADH中，∠AHD=90°，sinA=

3

5

．
∴DH=ADsinA=

12

5

k，AH=

AD2-DH2

=

16

5

k．
則在△CDH中，CH=AC-AH=

4

5

k，CD=

DH2+CH2

=

4 10

5

k．
于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD=

4 10

5

k．
由正對的定義可得：sadA=

CD

AD

=

10

5

．

點評：此題是一道新定義的題目，考查了正對這一新內容，要熟悉三角函數的定義，可進行類比解答．