Question

【題目】如圖，在⊙O中，直徑AB垂直弦CD，E為BC弧上一點，下列結論：①∠1=∠2；②∠3=2∠4；③∠3+∠5=180°,其中正確的是( )

A. ①③ B. ②③

C. ①②③ D. ①②

Answer 1

【答案】D

【解析】

（1）首先由AB⊥CD，推出弧BC=弧BD，可得∠2=∠BAC，∠BAD=∠BAC，再由OC=OA，推出∠1=∠BAC，即可推出∠1=∠2；
（2）根據（1）所推出的結論，即可推出∠4=∠2=∠1=∠BAC，然后根據外角的性質可推出∠3=∠1+∠BAC，通過等量代換可得∠3=2∠1，即得∠3=2∠4；
（3）根據圓內接四邊形的性質可得∠5+∠BAC=180°，由∠1=∠BAC，可推出∠3=2∠BAC，通過等量代換可推出∠5+∠3=180°，總上所述，題目中的三個結論中正確的是①②．

(1)∵AB⊥CD，

∴弧BC=弧BD，

∴∠2=∠BAC，∠BAD=∠BAC，

∵OC=OA，

∴∠1=∠BAC，

∴∠1=∠2，

∴結論①正確；

(2)∵弧BC=弧BD，

∴∠4=∠2，

∵∠1=∠2=∠BAC，

∴∠4=∠2=∠1=∠BAC，

∴∠3=∠1+∠BAC=2∠1，

∴∠3=2∠4，

∴結論②正確；

(3)∵四邊形ACEB為圓的內接四邊形，

∴∠5+∠BAC=180°，

∵∠BAC=∠1，∠3=2∠1，

∴∠3=2∠BAC，

∠5+∠3=180°，

∴結論③錯誤，

總上所述，結論①②正確，

故選D.