Question

【題目】如圖，直線y=5x+5交x軸于點A，交y軸于點C，過A，C兩點的二次函數y=ax2+4x+c的圖象交x軸于另一點B．

（1）求二次函數的表達式；
（2）連接BC，點N是線段BC上的動點，作ND⊥x軸交二次函數的圖象于點D，求線段ND長度的最大值；
（3）若點H為二次函數y=ax2+4x+c圖象的頂點，點M（4，m）是該二次函數圖象上一點，在x軸、y軸上分別找點F，E，使四邊形HEFM的周長最小，求出點F，E的坐標．
溫馨提示：在直角坐標系中，若點P，Q的坐標分別為P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），
當PQ平行x軸時，線段PQ的長度可由公式PQ=|x1﹣x2|求出；
當PQ平行y軸時，線段PQ的長度可由公式PQ=|y1﹣y2|求出．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=5x+5交x軸于點A，交y軸于點C，

∴A（﹣1，0），C（0，5），

∵二次函數y=ax2+4x+c的圖象過A，C兩點，

∴ ，

解得 ，

∴二次函數的表達式為y=﹣x2+4x+5

（2）

解：如圖1，

∵點B是二次函數的圖象與x軸的交點，

∴由二次函數的表達式為y=﹣x2+4x+5得，點B的坐標B（5，0），

設直線BC解析式為y=kx+b，

∵直線BC過點B（5，0），C（0，5），

∴ ，

解得 ，

∴直線BC解析式為y=﹣x+5，

設ND的長為d，N點的橫坐標為n，

則N點的縱坐標為﹣n+5，D點的坐標為D（n，﹣n2+4n+5），

則d=|﹣n2+4n+5﹣（﹣n+5）|，

由題意可知：﹣n2+4n+5＞﹣n+5，

∴d=﹣n2+4n+5﹣（﹣n+5）=﹣n2+5n=﹣（n﹣ ）2+ ，

∴當n= 時，線段ND長度的最大值是

（3）

解：由題意可得二次函數的頂點坐標為H（2，9），點M的坐標為M（4，5），

作點H（2，9）關于y軸的對稱點H1，則點H1的坐標為H1（﹣2，9），

作點M（4，5）關于x軸的對稱點HM1，則點M1的坐標為M1（4，﹣5），

連結H1M1分別交x軸于點F，y軸于點E，

所以H1M1+HM的長度是四邊形HEFM的最小周長，則點F、E即為所求，

設直線H1M1解析式為y=k1x+b1，

直線H1M1過點M1（4，﹣5），H1（﹣2，9），

根據題意得方程組 ，

解得 ，

∴y=﹣ x+ ，

∴點F，E的坐標分別為（ ，0）（0， ）．

【解析】（1）先根據坐標軸上點的坐標特征由一次函數的表達式求出A，C兩點的坐標，再根據待定系數法可求二次函數的表達式；（2）根據坐標軸上點的坐標特征由二次函數的表達式求出B點的坐標，根據待定系數法可求一次函數BC的表達式，設ND的長為d，N點的橫坐標為n，則N點的縱坐標為﹣n+5，D點的坐標為D（n，﹣n2+4n+5），根據兩點間的距離公式和二次函數的最值計算可求線段ND長度的最大值；（3）由題意可得二次函數的頂點坐標為H（2，9），點M的坐標為M（4，5），作點H（2，9）關于y軸的對稱點H1 ， 可得點H1的坐標，作點M（4，5）關于x軸的對稱點HM1 ， 可得點M1的坐標連結H1M1分別交x軸于點F，y軸于點E，可得H1M1+HM的長度是四邊形HEFM的最小周長，再根據待定系數法可求直線H1M1解析式，根據坐標軸上點的坐標特征可求點F、E的坐標．考查了二次函數綜合題，涉及的知識點有：坐標軸上點的坐標特征，待定系數法求一次函數的表達式，待定系數法求二次函數的表達式，二次函數的頂點坐標，兩點間的距離公式，二次函數的最值，軸對稱﹣最短路線問題，方程思想的應用，綜合性較強，有一定的難度．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．