Question

【題目】如圖，點 O 是等邊△ABC 內一點，∠AOB＝110°，∠BOC＝a．將△BOC 繞點 C 按順時針方向旋轉 60°得△ADC，則△ADC≌△BOC，連接 OD．

（1）求證：△COD 是等邊三角形；

（2）當α＝120°時，試判斷 AD 與 OC 的位置關系，并說明理由；

（3）探究：當 a 為多少度時，△AOD 是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）當 a 為 125°或 110°或 140°時，△AOD 是等腰三角形．

【解析】

（1）根據旋轉得出CO=CD，∠DCO=60°，根據等邊三角形的判定推出即可．
（2）求出∠ADO=∠COD=60°，根據平行線的判定推出即可．
（3）用∠α表示∠ADO、∠AOD、∠DAO，分為三種情況：①∠ADO=∠AOD，②∠ADO=∠OAD，③∠OAD=∠AOD，代入求出即可．

證明：（1）∵△ADC≌△BOC，

∴CO＝CD，

∵將△BOC 繞點 C 按順時針方向旋轉 60°得△ADC，

∴∠DCO＝60°，

∴△COD 是等邊三角形．

（2）解：AD∥OC，

理由是：∵△DOC 是等邊三角形，

∴∠CDO＝∠DOC＝60°，

∵∠α＝120°，△COB≌△CDA，

∴∠ADC＝∠COB＝120°，

∴∠ADO＝120°﹣60°＝60°，

∴∠ADO＝∠DOC＝60°，

∴AD∥OC．

（3）解：∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠α﹣∠COD＝360°﹣110°﹣∠α﹣60°＝190°﹣∠α，∠ADO＝∠ADC﹣∠CDO＝∠α﹣60°，∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（∠α﹣60°）﹣（190°﹣∠α）＝50°， 若∠ADO＝∠AOD，即∠α﹣60°＝190°﹣∠α，

解得：∠α＝125°；

若∠ADO＝∠OAD，則∠α﹣60°＝50°， 解得：∠α＝110°；

若∠OAD＝∠AOD，即 50°＝190°﹣∠α， 解得：∠α＝140°；

即當 a 為 125°或 110°或 140°時，△AOD 是等腰三角形．