Question

【題目】二次函數與軸交于、兩點，，與直線交于、兩點，點在軸上，．

（1）求二次函數的解析式；

（2）在拋物線上有一點，若的面積為，求點的橫坐標；

（3）點在第四象限的拋物線上運動，連接，與直線交于點，連接，．設的面積為，的面積為，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點P的橫坐標為，，或7；（3）的最小值為．

【解析】

（1）先求出n的值，然后把點D、E代入二次函數，即可求出二次函數的解析式；

（2）先求出點A的坐標，然后得到直線AE的解析式和AE的長度，然后求出的高PF的長度，作直線AE的平行線，使得平行線之間的距離為，分別求出兩條直線，聯合拋物線的解析式，即可求出點P的坐標；

（3）先求出直線AF的解析式，聯合直線BE得到點Q的橫坐標，過點Q作QM⊥x軸，作FN⊥x軸，則有QM∥FN，得到AM和MN的值，由平行線分線段成比例，則，結合二次函數的性質，即可得到答案．

解：（1）把點E代入直線，則

，

∴點E為（6，7），

把點，E（6，7）代入，

∴，

解得：，

∴二次函數的解析式為：；

（2）∵，

令，

∴，，

∴點A為（，0），

∵點E為（6，7），

∴AE=，

∴直線AE為：；

∵點P在拋物線上，且的面積為，

∴，

∴；

如圖，作直線AE的平行線，使得平行線之間的距離為，

∵，

∴∠EAD=45°，

∴△CGH和△GIJ是等腰直角三角形，

∴GI=GC=8；

∵直線AE為，

∴直線CP為；直線為；

聯合方程組，得

，，

解得：，，，；

∴點P的橫坐標為，，或7；

（3）∵點F在拋物線上，則

設點F為（t，），

∵點A為（，0），

設直線AF為，則

，

即，

∵點F在第四象限，則，

∴，

∴直線AF為；

∵直線BE為，

則，解得：，

∴點Q的橫坐標為；

如圖，過點Q作QM⊥x軸，作FN⊥x軸，則有QM∥FN，

∴，

∵點M為（，0），點N為（t，0），

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴當時，有最大值9，則此時有最小值；

∴的最小值為．