Question

【題目】已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，OF⊥BD于點F，交⊙O于點D，AC與BD交于點G，點E為OC的延長線上一點，且∠OEB＝∠ACD．

（1）求證：BE是⊙O的切線；

（2）求證：CD2＝CGCA；

（3）若⊙O的半徑為，BG的長為，求tan∠CAB．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）tan∠CAB＝．

【解析】

（1）由∠OEB＝∠ACD，∠ACD＝∠ABD知∠OEB＝∠ABD，由OF⊥BD知∠BFE＝90°，即∠OEB＋∠EBF＝90°，從而得∠ABD＋∠EBF＝90°，據此即可得證；

（2）連接AD，證△DCG∽△ACD即可得；

（3）先證△CDF∽△GCF得，再證△DCG∽△ABG得，據此知，由r＝，BG＝知AB＝2r＝5，根據tan∠CAB＝tan∠ACO＝可得答案．

（1）∵∠OEB＝∠ACD，∠ACD＝∠ABD，

∴∠OEB＝∠ABD，

∵OF⊥BD，

∴∠BFE＝90°，

∴∠OEB+∠EBF＝90°，

∴∠ABD+∠EBF＝90°，即∠OBE＝90°，

∴BE⊥OB，

∴BE是⊙O的切線；

（2）連接AD，

∵OF⊥BD，

∴，

∴∠DAC＝∠CDB，

∵∠DCG＝∠ACD，

∴△DCG∽△ACD，

∴，

∴CD2＝ACCG；

（3）∵OA＝OB，

∴∠CAO＝∠ACO，

∵∠CDB＝∠CAO，

∴∠ACO＝∠CDB，

而∠CFD＝∠GFC，

∴△CDF∽△GCF，

∴，

又∵∠CDB＝∠CAB，∠DCA＝∠DBA，

∴△DCG∽△ABG，

∴，

∴，

∵r＝，BG＝，

∴AB＝2r＝5，

∴tan∠CAB＝tan∠ACO＝＝．