Question

【題目】拋物線y=ax2+bx+c的頂點為D(﹣1，2)，與x軸的一個交點A在點(﹣3，0)和(﹣2，0)之間，其部分圖象如圖，則以下結論：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有兩個相等的實數根.其中正確結論是________.

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

由拋物線與x軸有兩個交點得到b2﹣4ac>0；有拋物線頂點坐標得到拋物線的對稱軸為直線x=-1，則根據拋物線的對稱性得拋物線與x軸的另一個交點在點（0，0）和（1，0）之間，所以當x=1時，y<0，則a+b+c<0；由拋物線的頂點為D（-1，2）得a-b+c=2，由拋物線的對稱軸為直線x=-=-1得b=2a，所以c-a=2；根據二次函數的最大值問題，當x=-1時，二次函數有最大值為2，即只有x=-1時，ax2+bx+c=2，所以說方程ax2+bx+c-2=0有兩個相等的實數根．

∵拋物線與x軸有兩個交點，

∴b2﹣4ac>0，所以①錯誤；

∵頂點為D(1,2)，

∴拋物線的對稱軸為直線x=1，

∵拋物線與x軸的一個交點A在點(3,0)和(2,0)之間，

∴拋物線與x軸的另一個交點在點(0,0)和(1,0)之間，

∴當x=1時，y<0，

∴a+b+c<0，所以②正確

∵拋物線的頂點為D(1,2)，

∴ab+c=2，

∵拋物線的對稱軸為直線x==1，

∴b=2a，

∴a2a+c=2，即ca=2，所以③正確；

∵當x=1時，二次函數有最大值為2，

即只有x=1時, ax2+bx+c=2，

∴方程ax2+bx+c2=0有兩個相等的實數根，所以④正確