Question

【題目】如圖，已知△ABC是等邊三角形，D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE，連接DE并延長至點F，使EF=AE，連接AF、BE和CF．

　　　　　　　　　　　　

（1）請在圖中找出一對全等三角形，用符號“≌”表示，并加以證明；

（2）判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說明理由；

（3）若AB=6，BD=2DC，求四邊形ABEF的面積．.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）平行四邊形；（3）

【解析】試題分析：（1）從圖上及已知條件容易看出△BDE≌△FEC，△BCE≌△FDC，△ABE≌△ACF．判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，所以此題的關鍵是找出相等的邊．

（2）由（1）的結論容易證明AB∥DF，BD∥AF，兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．

（3）EF∥AB，EF≠AB，四邊形ABEF是梯形，只要求出此梯形的面積即可．

試題解析：解：（1）△BDE≌△FEC或△BCE≌△FDC或△ABE≌△ACF．

（選證一）△BDE≌△FEC．

證明：∵△ABC是等邊三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°．

∵CD=CE，∴△EDC是等邊三角形，∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°，∴∠BDE=∠FEC=120°．

又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC．

（選證二）△BCE≌△FDC．

證明：∵△ABC是等邊三角形，∴BC=AC，∠ACB=60°．

又∵CD=CE，∴△EDC是等邊三角形，∴∠BCE=∠FDC=60°，DE=CE．

∵EF=AE，∴EF+DE=AE+CE，∴FD=AC=BC，∴△BCE≌△FDC．

（選證三）△ABE≌△ACF．

證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60°．

∵CD=CE，∴△EDC是等邊三角形，∴∠AEF=∠CED=60°．

∵EF=AE，△AEF是等邊三角形，∴AE=AF，∠EAF=60°，∴△ABE≌△ACF．

（2）由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等邊三角形，∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°，∴AB∥DF，BD∥AF，∴四邊形ABDF是平行四邊形．

（3）由（2）知，四邊形ABDF是平行四邊形，∴EF∥AB，EF≠AB，∴四邊形ABEF是梯形．

過E作EG⊥AB于G，則EG=，∴

．