Question

【題目】已知，如圖：長方形ABCD中，點E為BC邊的中點，將D折起，使點D落在點E處．

（1）請你用尺規作圖畫出折痕和折疊后的圖形．（不要求寫已知，求作和作法，保留作圖痕跡）

（2）若折痕與AD、BC分別交于點M、N，與DE交于點O，求證△MDO≌△NEO．

Answer 1

【答案】（1）圖見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）作DE的垂直平分線分別交AD和BC于點M、N，MN即為折痕，再以E為圓心，CD的長為半徑作弧，以N為圓心，NC的長為半徑作弧，兩弧交于點C′，四邊形MEC′N即為四邊形MDCN折疊后的圖形；

（2）根據矩形的性質可得AD∥BC，從而得出∠MDO=∠NEO，然后根據垂直平分線的定義可得DO=EO，最后利用ASA即可證出結論．

解：（1）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧分別交于點P、Q，連接PQ，分別交AD和BC于點M、N，連接ME和DN，此時MN垂直平分DE，MN即為折痕；

再以E為圓心，CD的長為半徑作弧，以N為圓心，NC的長為半徑作弧，兩弧交于點C′，四邊形MEC′N即為四邊形MDCN折疊后的圖形；

（2）∵四邊形ABCD為矩形

∴AD∥BC

∴∠MDO=∠NEO

∵MN垂直平分DE

∴DO=EO

在△MDO和△NEO中

∴△MDO≌△NEO