Question

【題目】如圖，∠A=∠B=30°，P為AB中點，線段MV繞點P旋轉，且M為射線AC上（不與點d重合）的任意一點，且N為射線BD上（不與點B重合）的一點，設∠BPN=α．

（1）求證：△APM≌△BPN；

（2）當MN=2BN時，求α的度數；

（3）若AB=4，60°≤α≤90°，直接寫出△BPN的外心運動路線的長度。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）30°；（3）

【解析】

（1）由P為AB的中點，可得PA=PB，再由已知中∠A=∠B=30°，對頂角∠APM=∠BPN，根據ASA即可判定△APM≌△BPN；

（2）由（1）中結論可知PM=PN，即MN=2PN，由已知MN=2BN，可得BN=PN，根據等邊對等角，即α=∠B=30°；

（3）當α=60°時，由∠B=30°，可知MN⊥BD，此時BP的中點為△BPN的外心，當α=90°時，由∠B=30°，此時BN的中點為△BPN的外心，根據三角形中位線定理可得△BPN的外心運動路線的長度為PN的一半，即為.

（1）證明：∵P是AB的中點，∴PA=PB ， 在△APM和△BPN中，

∴△APM≌△BPN（ASA）

（2）解：由（1）得：△APM≌△BPN ， ∴PM=PN ， ∴MN=2PN ， ∵MN=2BN ， ∴BN=PN ， ∴α=∠B=30°

（3）解：