Question

【題目】為判斷命題“有三條邊相等且一組對角相等的四邊形是菱形”的真假，數學課上，老師給出菱形ABCD如圖1，并作出了一個四邊形ABC′D．具體作圖過程如下：
如圖2，在菱形ABCD中，
①連接BD，以點B為圓心，以BD的長為半徑作圓弧，交CD于點P；
②分別以B、D為圓心，以BC、PC的長為半徑作圓弧，兩弧交于點C′．
③連接BC′、DC′，得四邊形ABC′D．

依據上述作圖過程，解決以下問題：
（1）求證：∠A=∠C′；AD=BC′．
（2）根據作圖過程和（1）中的結論，說明命題“有三條邊相等且有一組對頂角相等的四邊形是菱形”是命題．（填寫“真”或“假”）

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BP，如圖所示：

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=BC，∠A=∠BCD，

根據題意得：BC=B′C，BD=BP，DC′=PC，

∴AD=BC′，

在△BPC和△BDC′中，

，

∴△BPC≌△BDC′（SSS），

∴∠BCD=∠C′，

∴∠A=∠C′

（2）假
【解析】證明：（2）由（1）可知四邊形ABC′D中，AB=AD=BC′，∠A=∠C，但四邊形ABC′D不是菱形，
所以有三條邊相等且有一組對頂角相等的四邊形是菱形”是假命題，
所以答案是：假．

【考點精析】掌握菱形的判定方法和命題與定理是解答本題的根本，需要知道任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形；我們把題設、結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題．如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題；經過證明被確認正確的命題叫做定理．