Question

【題目】提出問題：

（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E，H分別在BC，AB上，若AE⊥DH于點O，求證：AE＝DH；

類比探究：

（2）如圖2，在正方形ABCD中，點H，E，G，F分別在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于點O，探究線段EF與HG的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）EF＝GH，理由見解析

【解析】

（1）由正方形的性質可得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．又由∠ADO+∠OAD=90°，可證得∠HAO=∠ADO，繼而證得△ABE≌△DAH，可得AE=DH；

（2）將FE平移到AM處，則AM∥EF，AM=EF，將GH平移到DN處，則DN∥GH，DN=GH．根據（1）的結論得AM=DN，所以EF=GH；

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．

∴∠HAO+∠OAD＝90°．

∵AE⊥DH，

∴∠ADO+∠OAD＝90°．

∴∠HAO＝∠ADO．

在△ABE和△DAH中

，

∴△ABE≌△DAH（ASA），

∴AE＝DH；

（2）解：EF＝GH．

理由：如圖所示：

將FE平移到AM處，則AM∥EF，AM＝EF．

將GH平移到DN處，則DN∥GH，DN＝GH．

∵EF⊥GH，

∴AM⊥DN，

根據（1）的結論得AM＝DN，所以EF＝GH．