Question

【題目】如圖，四邊形ABCD的四個頂點分別在反比例函數y=與y=（x＞0，0＜m＜n）的圖象上，對角線BD∥y軸，且BD⊥AC于點P．已知點B的橫坐標為4．

（1）當m=4，n=20時．

①若點P的縱坐標為2，求直線AB的函數表達式．

②若點P是BD的中點，試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由．

（2）四邊形ABCD能否成為正方形？若能，求此時m，n之間的數量關系；若不能，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①直線AB的解析式為y=﹣x+3；理由見解析；②四邊形ABCD是菱形，（2）四邊形ABCD能是正方形，理由見解析.

【解析】（1）①先確定出點A，B坐標，再利用待定系數法即可得出結論；

②先確定出點D坐標，進而確定出點P坐標，進而求出PA，PC，即可得出結論；

（2）先確定出B（4，），進而得出A（4-t，+t），即：（4-t）（+t）=m，即可得出點D（4，8-），即可得出結論．

（1）①如圖1，

∵m=4，

∴反比例函數為y=，當x=4時，y=1，

∴B（4，1），

當y=2時，

∴2=，

∴x=2，

∴A（2，2），

設直線AB的解析式為y=kx+b，

∴，

∴，

∴直線AB的解析式為y=-x+3；

②四邊形ABCD是菱形，

理由如下：如圖2，

由①知，B（4，1），

∵BD∥y軸，

∴D（4，5），

∵點P是線段BD的中點，

∴P（4，3），

當y=3時，由y=得，x=，

由y=得，x=，

∴PA=4-=，PC=-4=，

∴PA=PC，

∵PB=PD，

∴四邊形ABCD為平行四邊形，

∵BD⊥AC，

∴四邊形ABCD是菱形；

（2）四邊形ABCD能是正方形，

理由：當四邊形ABCD是正方形，

∴PA=PB=PC=PD，（設為t，t≠0），

當x=4時，y==，

∴B（4，），

∴A（4-t，+t），

∴（4-t）（+t）=m，

∴t=4-，

∴點D的縱坐標為+2t=+2（4-）=8-，

∴D（4，8-），

∴4（8-）=n，

∴m+n=32．