Question

【題目】在平面直角坐標系中，點 A(2，0)，B(0，4),點 C 在第一象限.

（1）如圖 1，連接 AB、BC、AC，∠OBC=90°，∠BAC=2∠ABO,求點 C 的坐標；

（2）動點 P 從點 B 出發，以每秒 2 個單位的速度沿 x 軸負方向運動，連接 AP，設 P 點的 運動時間為 t 秒，△AOP 的面積為 S，用含 t 的式子表示 S，并直接寫出 t 的取值范圍；

（3）如圖 2，在（1）條件下，點 P 在線段 OB 上，連接 AP、PC,AB 與 PC 相交于點 Q,當S=3, ∠BAC=∠BPC 時，求△ACQ 的面積.

圖 1 圖 2

Answer 1

【答案】（1）C（4,4）；（2）；（3） .

【解析】分析: （1） 作AD⊥BC于D,可得D（4,2），BD=2,根據△ABD≌△ACD，得BC=4，從而

可知C點坐標.

（2）分兩種情況根據三角形的面積公式即可求出,一種是當時,此時點P在OB上;另一種是點P在x軸負半軸上運動時,此時.

（3） 作AE⊥PC于E，作BF⊥PC于F,作CG⊥AB于G,可得BP=3,OP=1,由（1）中△ABD≌△ACD得AB=AC,易證△ACE≌△ABO, △AOP≌△AEP,從而得PC=5由面積法，可求BF=2.4,從而AE:BF=5:6由面積法得,因此.

詳解:

（1） 過點A作AD⊥BC于D,

∵點 A(2，0)，B(0，4), ∠OBC=90°，

∴D（4,2），

∴BD=2,

∵∠BAC=2∠ABO,

∴∠BAD=∠CAD,

又∵AD=AD, ∠ADB=∠ADC,

∴△ABD≌△ACD，

∴BC=4，

∴C（4,4）

（2）當點P在OB上時,,

由題意得OA=2,OP=4-2t,

∴S=2×(4-2t) ×=4-2t;

當點P在x軸負半軸上時,,

由題意得OA=2,OP=2t- 4,

∴S=2×(2t- 4) ×=2t- 4;

綜上,

（3） 作AE⊥PC于E，作BF⊥PC于F,作CG⊥AB于G

∵S=3,

∴可得BP=3,OP=1

由（1）△ABD≌△ACD

∴AB=AC

∵∠BAC=∠BPC

∴∠ACP=∠ABP

易證△ACE≌△ABO,

△AOP≌△AEP,

∴CE=BO=4,OP=EP=1，

AO=AE=2

∴PC=5（1分）

由面積法，可求BF=2.4

∴AE:BF=5:6

由面積法,

∴