Question

【題目】如圖，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點D，∠ABC的平分線交AD于點E，
（1）求證：DE=DB；
（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圓的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，

∴ ，

∴∠DBC=∠CAD，

∴∠DBC=∠BAE，

∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，

∴∠DBE=∠DEB，

∴DE=DB

（2）解：連接CD，如圖所示：

由（1）得： ，

∴CD=BD=4，

∵∠BAC=90°，

∴BC是直徑，

∴∠BDC=90°，

∴BC= =4 ，

∴△ABC外接圓的半徑= ×4 =2 ．

【解析】（1）由角平分線得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出 ，由圓周角定理得出∠DBC=∠CAD，證出∠DBC=∠BAE，再由三角形的外角性質得出∠DBE=∠DEB，即可得出DE=DB；（2）由（1）得： ，得出CD=BD=4，由圓周角定理得出BC是直徑，∠BDC=90°，由勾股定理求出BC= =4 ，即可得出△ABC外接圓的半徑．