Question

【題目】在我們學習過的數學教科書中，有一個數學活動，其具體操作過程是：
第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖①）；

第二步：再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN（如圖②）．

如圖②所示建立平面直角坐標系，請解答以下問題：
（Ⅰ）設直線BM的解析式為y=kx，求k的值；
（Ⅱ）若MN的延長線與矩形ABCD的邊BC交于點P，設矩形的邊AB=a，BC=b；
（i）若a=2，b=4，求P點的坐標；
（ii）請直接寫出a、b應該滿足的條件．

Answer 1

【答案】解：
（Ⅰ）連接AN，延長MN交BC于點P，如圖，

∴EF垂直平分AB，
∴AN=BN，
由折疊知AB=BN，
∴AN=AB=BN，
∴△ABN為等邊三角形，
∴∠ABN=60°，
∴∠PBN=30°，
∵∠ABM=∠NBM=30°，
∴∠BNM=∠A=90°，
∴∠BPN=60°，∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°，
∴∠BMP=60°，
∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°，
∴△BMP是等邊三角形，
∵點M在直線y=kx上，
∴k= =tan60°= ；
（Ⅱ）（i）由題意可知AB=a=2，
在Rt△ABM中，cos∠ABM= ，
∴ = ，解得BM= ，
∴BP=BM= ，
∴P（ ，0）；
（ii）由題意可知BC≥BP，
在Rt△BNP中，BN=BA=a，∠PBN=30°，
∴BP= ，
∴b≥ ，
∴a≤ b
【解析】（Ⅰ）連接AN，延長MN交BC于點P，由折疊的性質可證△BMP為等邊三角形，由M點的坐標可求得k的值；（Ⅱ）（i）在Rt△ABM中，由三角形的性質可求得BM的長，則可求得BP的長，可求得P點坐標；（ii）由題意可知BC≥BP，在Rt△BNP中，由三角函數的定義可用a表示出BP，則可得到a、b所滿足的條件．
【考點精析】利用等邊三角形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．