Question

【題目】已知△ABC中，D為AB邊上任意一點，DF∥AC交BC于F，AE∥BC，∠CDE=∠ABC=∠ACB=α．

（1）如圖1，當α=60°時，求證：△DCE是等邊三角形．
（2）如圖2．當α=45°時，求證：① = ；②CE⊥DE．
（3）如圖3，當α為任意銳角時，請直接寫出線段CE與DE的數量關系（用α表示）

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1中，

∵∠ABC=∠ACB=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴BC=BA，

∵DF∥AC，

∴∠BFD=∠BCA=60°，∠BDF=∠BAC=60°，

∴△BDF是等邊三角形，

∴BF=BD，

∴CF=AD，∠CFD=120°，

∵AE∥BC，

∴∠B+∠DAE=180°，

∴∠DAE=∠CFD=120°，

∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE，

∵∠CDE=∠B=60°，

∴∠FCD=∠ADE，

∴△CFD≌△DAE，

∴DC=DE，∵∠CDE=60°，

∴△CDE是等邊三角形

（2）證明：①如圖2中，作FG⊥AC于G．

∵∠B=∠ACB=45°，

∴∠BAC=90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∵DF∥AC，

∴∠BDF=∠BAC=90°，

∴∠BFD=45°，∠DFC=135°，

∵AE∥BC，

∴∠BAE+∠B=180°，

∴∠DFC=∠DAE=135°，

∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE，

∵∠CDE=∠B=45°，

∴∠FCD=∠ADE，

∴△CFD∽△DAE，

∴ = ，

∵四邊形ADFG是矩形，FC= FG，

∴FG=AD，CF= AD，

∴ = ，

②作CE′⊥DE于E′

∵∠CDE=45°，

∴DE′=CDcos45°= CD，

∵DE= CD，

∴點E與點E′重合，

∴CE⊥DE

（3）解：如圖3中，設AC與DE交于點O．

∵AE∥BC，

∴∠EAO=∠ACB，

∵∠CDE=∠ACB，

∴∠CDO=∠OAE，∵∠COD=∠EOA，

∴△COD∽△EOA，

∴ = ，

∴ = ，∵∠COE=∠DOA，

∴△COE∽△DOA，

∴∠CEO=∠DAO．

∵∠CED+∠CDE+∠DCE=180°，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，

∵∠CDE=∠B=∠ACB，

∴∠EDC=∠ECD，

∴EC=ED，

∴ =1．

故答案為1

【解析】（1）要證△DCE是等邊三角形，證明△CFD≌△DAE即可；（2）①如圖2中，作FG⊥AC于G．只要證出△CFD∽△DAE，推出，再證明CF=AD即可；②作CE′⊥DE于E′，只要證明點E與點E′重合即可；（3）根據相似三角形的判定及性質證明EC=ED即可.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質的相關知識，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．