Question

【題目】如果兩個角的差的絕對值等于90°，就稱這兩個角互為垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，則∠1和∠2互為垂角，（本題中所有角都是指大于0°且小于180°的角）

（1）如圖1所示，O為直線AB上一點，OC⊥AB，OE⊥OD，圖中哪些角互為垂角？（寫出所有情況）

（2）如圖2所示，O為直線AB上一點，∠AOC＝60°，將∠AOC繞點O順時針旋轉n°（0°＜n＜120），OA旋轉得到OA′，OC旋轉得到OC′，當n為何值時，∠AOC′與∠BOA′互為垂角？

Answer 1

【答案】（1）互為垂角的角有4對：∠EOB與∠DOB，∠EOB與∠EOC，∠AOD與∠COD，∠AOD與∠AOE；（2）當n＝15°或n＝105°，∠AOC′與∠BOA′互為垂角．

【解析】

（1）根據互為垂角的定義即可求解；

（2）分別表示出旋轉后∠AOC′和∠BOA′的度數，然后根據互為垂角定義列絕對值方程即可解答．

解：（1）互為垂角的角有4對：∠EOB與∠DOB，∠EOB與∠EOC，∠AOD與∠COD，∠AOD與∠AOE；

理由：∵OE⊥OD，OC⊥AB，

∴∠EOB﹣∠DOB＝∠EOD＝90°；∠EOB﹣∠EOC＝∠COB＝90°；∠AOD﹣∠COD＝∠AOC＝90°；∠AOD﹣∠AOE＝∠EOD＝90°；

（2）如圖：∵∠AOC＝60°，將∠AOC繞點O順時針旋轉n°

∴∠AOC＝60°+n°，∠BOA′＝180°﹣n°

∴|（60°+n°）﹣（180°﹣n°）|＝90°

∴2n°﹣120°＝±90°，

∴n＝15°或n＝105°

將∠AOC繞點O順時針旋轉15°或105°時，∠AOC′與∠BOA′互為垂角．