Question

【題目】如圖，動直線（）分別交x軸，拋物線和于點P，E，F，設點A，B為拋物線， 與x軸的一個交點，連結AE，BF．

（1）求點A，B的坐標.

(2）當時，判斷直線AE與BF的位置關系，并說明理由.

（3）連結BE，當時，求△BEF的面積.

Answer 1

【答案】(1) 點A的坐標為（3，0），點B的坐標為（4，0）;（2）AE∥BF．（3）（Ⅰ）2；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（1）把y=0分別代入y=x2-3x和y=x2-4x中，進而得出A，B點坐標；

（2）利用銳角三角函數關系得出∠PAE=∠PBF，進而得出直線AE與BF的位置關系；

（3）利用AE∥BF，得出△PAE∽△PBF，進而求出m的值，即可得出△BEF的面積．

試題解析：（1）把y=0分別代入和中，

得： ，

解得x=0或x=3；

，

解得x=0或x=4

∴點A的坐標為（3，0），點B的坐標為（4，0）；

（2）直線AE與BF的位置關系是AE∥BF．

理由如下：

由題意得，點E的坐標為（m， ），

點F的坐標為（m， ）．

∴tan∠PAE= ，

∴tan∠PBF= ,

∴∠PAE=∠PBF，∴AE∥BF；

（3）（Ⅰ）如圖1，

∵AE∥BF，∴△PAE∽△PBF，

∴，即，解得m=2．

∴；

（Ⅱ）如圖2，

∵AE∥BF，∴△PAE∽△PBF，

∴，即，解得m=．

∴S△BEF=EFPB=××=．