Question

如圖，已知動點P在函數y=

1

2x

（x＞0）的圖象上運動，PM⊥x軸于點M，PN⊥y軸于點N，線段PM、PN分別與直線AB：y=-x+1交于點E，F，則AF•BE的值為（　　）

• A、4
• B、2
• C、1
• D、

  1

  2

Answer 1

分析：由于P的坐標為（a，

1

2a

），且PN⊥OB，PM⊥OA，那么N的坐標和M點的坐標都可以a表示，那么BN、NF、BN的長度也可以用a表示，接著F點、E點的也可以a表示，然后利用勾股定理可以分別用a表示AF，BE，最后即可求出AF•BE．

解答：解：作FG⊥x軸，
∵P的坐標為（a，

1

2a

），且PN⊥OB，PM⊥OA，
∴N的坐標為（0，

1

2a

），M點的坐標為（a，0），
∴BN=1-

1

2a

，
在直角三角形BNF中，∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形），
∴NF=BN=1-

1

2a

，
∴F點的坐標為（1-

1

2a

，

1

2a

），
同理可得出E點的坐標為（a，1-a），
∴AF²=（1-1+

1

2a

）²+（

1

2a

）²=

1

2a2

，BE²=（a）²+（-a）²=2a²，
∴AF²•BE²=

1

2a2

•2a²=1，即AF•BE=1．
故選C．

點評：本題的關鍵是通過反比例函數上的點P來確定E、F兩點的坐標，進而通過坐標系中兩點的距離公式得出所求的值．