Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E在AD上，BE與AC交于點F.

（1）若AC⊥BE,求AE的長 ；

（2）設△DEF和△DCF的面積分別為S1和S2，當AE=m時,求S1：S2；

（3）當AE的長是多少時，△DCF是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）；（2）S1：S2=m(4-m):16；（3）、4、.

【解析】

（1）利用已知條件，得到，，得到，代入求值可得到AE.

（2）過F作BC,AD的垂線，長度分別為h1和h2，根據△AEF∽△CBF和△AGF∽△CBA，得到可以求得代入可得到比值.

（3）分三種情況進行討論，分別是CD=CF=3，DF=CF，DF=CD=3分開討論即可得到結果.

（1）∵四邊形ABCD是矩形;

∴△ABE是直角三角形;

又∵AC⊥BE,

∴∠AFB=90°,

∴∠ABE+∠AEB=∠ABE+∠BAC=90°.

∴∠AEB=∠BAC

∴,

∴;

∴

（2）

過F作BC,AD的垂線，長度分別為h1和h2,

∵△AEF∽△CBF,

∴,

∵h1+h2=3,

∴

又∵△AGF∽△CBA，

∴

∴

∴

∴S1：S2=

∴S1：S2=m(4-m):16

（3）本題分三種情況：①當CD=CF=3時，AF=2，由（1）得AE:BC=AF:FC，∴AE=；

②當DF=CF時，F為AC的中點，此時E、D重合，∴AE=4；

③當DF=CD=3時，作DM⊥AC于G，則CM=FM=，AF=，

由（1）得AE:BC=AF:FC，∴AE=

綜上，AE=、4、