Question

【題目】如圖，拋物線（≠0）與軸交于A(-4，0)，B（2，0），與軸交與點C（0，2）．

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點D為該拋物線上的一個動點，且在直線AC上方，當以A，C，D為頂點的三角形面積最大時，求點D的坐標及此時三角形的面積；

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2﹣x+2；(2)S△ADC的最大值為2，此時D（﹣2，2）．

【解析】

（1）根據A與B坐標設出拋物線解析式，將C坐標代入即可求出；

（2）過點D作DH⊥AB于點H，交直線AC于點G，連接DC，AD，如圖所示，利用待定系數法求出直線AC解析式，設D橫坐標為m，則有G橫坐標也為m，表示出DH與GH，由DH-GH表示出DG，三角形ADC面積=三角形ADG面積+三角形DGC面積，表示出面積與m的關系式，利用二次函數性質確定出面積的最大值，以及此時m的值，即此時D的坐標即可．

(1)根據題意設拋物線解析式為y=a（x+4）（x﹣2），

把C（0，2）代入得：﹣8a=2，即a=﹣，

則拋物線解析式為y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣x2﹣x+2；

(2)過點D作DH⊥AB于點H，交直線AC于點G，連接DC，AD，如圖所示，

設直線AC解析式為y=kx+t，則有

，

解得：，

∴直線AC解析式為y=x+2，

設點D的橫坐標為m，則G橫坐標也為m，

∴DH=﹣m2﹣m+2，GH=m+2，

∴DG=﹣m2﹣m+2﹣m﹣2=﹣m2﹣m，

∴S△ADC=S△ADG+S△CDG=DGAH+DGOH=DGAO=2DG=﹣m2﹣2m=﹣（m2+4m）=﹣ [（m+2）2﹣4]=﹣（m+2）2+2，

當m=﹣2時，S△ADC取得最大值2，此時yD=﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2=2，即D（﹣2，2）．