Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2cm，E、F分別是AB、AC的中點，動點P從點E出發，沿EF方向勻速運動，速度為1cm/s，同時動點Q從點B出發，沿BF方向勻速運動，速度為2cm/s，連接PQ，設運動時間為ts（0＜t＜1），則當t＝___時，△PQF為等腰三角形．

Answer 1

【答案】2﹣或．

【解析】

由勾股定理和含30°角的直角三角形的性質先分別求出AC和BC，然后根據題意把PF和FQ表示出來，當△PQF為等腰三角形時分三種情況討論即可.

解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2cm，

∴AC＝2AB＝4cm，BC＝＝2，

∵E、F分別是AB、AC的中點，

∴EF＝BC＝cm，BF＝AC＝2cm，

由題意得：EP＝t，BQ＝2t，

∴PF＝﹣t，FQ＝2﹣2t，

分三種情況：

①當PF＝FQ時，如圖1，△PQF為等腰三角形．

則﹣t＝2﹣2t，

t＝2﹣ ；

②如圖2，當PQ＝FQ時，△PQF為等腰三角形，過Q作QD⊥EF于D，

∴PF＝2DF，

∵BF＝CF，

∴∠FBC＝∠C＝30°，

∵E、F分別是AB、AC的中點，

∴EF∥BC，

∴∠PFQ＝∠FBC＝30°，

∵FQ＝2﹣2t，

∴DQ＝FQ＝1﹣t，

∴DF＝ （1﹣t），

∴PF＝2DF＝2（1﹣t），

∵EF＝EP+PF＝ ，

∴t+2（1﹣t）＝ ，

t＝ ；

③因為當PF＝PQ時，∠PFQ＝∠PQF＝30°，

∴∠FPQ＝120°，

而在P、Q運動過程中，∠FPQ最大為90°，所以此種情況不成立；

綜上，當t＝2﹣或時，△PQF為等腰三角形．

故答案為：2﹣ 或 ．