Question

【題目】如圖，已知AB為半圓O的直徑，P為半圓上的一個動點（不含端點），以OP、OB為一組鄰邊作POBQ，連接OQ、AP，設OQ、AP的中點分別為M、N，連接PM、ON．

（1）試判斷四邊形OMPN的形狀，并說明理由．

（2）若點P從點B出發，以每秒15°的速度，繞點O在半圓上逆時針方向運動，設運動時間為ts．

①試求：當t為何值時，四邊形OMPN的面積取得最大值？并判斷此時直線PQ與半圓O的位置關系（需說明理由）；

②是否存在這樣的t，使得點Q落在半圓O內？若存在，請直接寫出t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）四邊形OMPN為矩形，理由見解析；（2）①當t=6秒時，四邊形OMPN面積最大，此時，PQ與半圓O相切．理由見解析；②當8＜t＜12時，點Q在半圓O內．

【解析】

（1）先證四邊形PQOA為平行四邊形，再證四邊形OMPN為平行四邊形，根據等腰三角形三線合一，得ON⊥AP，進而即可得到結論；

（2）①由題意得S矩形OMPN=S△AOP，從而得△AOP的AO邊上的高取得最大值，此時△AOP的面積取得最大值，進而即可得到t的值，根據切線的判定定理，即可得到結論；②考慮兩個特殊情況：當點Q在半圓O上時，當點P與點A重合時，分別求出t的值，進而即可得到答案．

（1）四邊形OMPN為矩形，理由如下：

∵四邊形POBQ為平行四邊形，

∴PQ∥OB，PQ=OB．

又∵OB=OA，

∴PQ=AO．

又∵PQ∥OA，

∴四邊形PQOA為平行四邊形，

∴PA∥QO，PA=QO．

又∵M、N分別為OQ、AP的中點，

∴OM=OQ，PN=AP，

∴OM=PN，

∴四邊形OMPN為平行四邊形．

∵OP=OA，N是AP的中點，

∴ON⊥AP，即∠ONP=90°，

∴四邊形OMPN為矩形；

（2）①∵四邊形OMPN為矩形，

∴S矩形OMPN=ON·NP=ON·AP，即S矩形OMPN=S△AOP．

∵△AOP的底AO為定值，

∴當P旋轉運動90°（運動至最高點）時，△AOP的AO邊上的高取得最大值，此時△AOP的面積取得最大值，

∴t=90÷15=6秒，

∴當t=6秒時，四邊形OMPN面積最大．

此時，PQ與半圓O相切．理由如下：

∵此時∠POB=90°，PQ//OB，

∴∠OPQ=90°，

∴PQ與半圓O相切；

②當點Q在半圓O上時，

∵四邊形POBQ為平行四邊形，且OB=OP，

∴四邊形POBQ為菱形，

∴OB=BQ=OQ=OP=PQ，

∴∠POQ=∠BOQ=60°，即：∠BOP=120°，

∴此時，t=120°÷15°=8秒，

當點P與點A重合時，t=180°÷15°=12秒，

綜上所述：當8＜t＜12時，點Q在半圓O內．