Question

【題目】設△ABC，點P是平面內的任意一點（A、B、C三點除外），若點P與點A、B、C中任意兩點的連線的夾角為直角時，則稱點P為△ABC的一個勾股點．

（1）如圖1，若點P是△ABC內一點，∠A＝50°，∠ACP＝10°，∠ABP＝30°，試說明點P是△ABC的一個勾股點．

（2）如圖2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，點D是AB的中點，點P在射線CD上，若點P是△ABC的勾股點，則CP＝　 　；

（3）如圖3，四邊形ABDC中，DB＝DA，∠BCD＝45°，AC＝，CD＝3．則點D能否是△ABC的勾股點，若能，求出BC的長：若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）或或10；（3）點D可以是△ABC的勾股點，BC的長是

【解析】

（1）根據勾股點的定義可得結論；

（2）若點P是△ABC的勾股點，有三種情況：①當∠APC＝90°時，②當∠BPC＝90°時，③當∠APB＝90°時，分別根據S△ACD＝S△ABC和直角三角形斜邊中線的性質進行計算即可；

（3）存在，當∠ADB＝90°時，點D是△ABC的勾股點，如圖5，作輔助線，構建直角三角形，證明△AED≌△DFB（AAS），得AE＝DF，根據等腰直角三角形計算AE的長，可得DF的長，可得結論．

（1）∵∠A＝50°，∠ACP＝10°，∠ABP＝30°，

∴∠PCB+∠PBC＝180°﹣50°﹣10°﹣30°＝90°，

∴∠BPC＝90°，

∴點P是△ABC的一個勾股點；

（2）點P在射線CD上，若點P是△ABC的勾股點，存在以下三種情況：

①如圖2，當∠APC＝90°時，AC＝6，BC＝8，

∴AB＝10，

∵D是AB的中點，

∴CD＝AB＝5，

S△ACD＝S△ABC＝CDAP，

，

AP＝，

∴；

②如圖3，當∠BPC＝90°時，

S△ACD＝S△ABC＝CDBP，

，

BP＝，

∴CP＝；

③如圖4，當∠APB＝90°時，

∵D是AB的中點，

∴PD＝AB＝5，

∴PC＝5+5＝10，

綜上，PC的長是或或10；

故答案為：或或10；

（3）存在，

當∠ADB＝90°時，點D是△ABC的勾股點，如圖5，過A作AE⊥CD，交直線CD于E，過B作BF⊥CD于F，

∵∠ADB＝∠ADE+∠BDF＝∠BDF+∠DBF＝90°，

∴∠ADE＝∠DBF，

∵∠E＝∠F＝90°，AD＝BD，

∴△AED≌△DFB（AAS），

∴AE＝DF，

∵AD＝BD，

∴△ADB是等腰直角三角形，

∴∠DAB＝45°，

∵∠BCD＝45°，

∴∠BCD＝∠DAB，

∴A、B、D、C四點共圓，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

∴∠ACE＝45°，

∵AC＝，

∴AE＝CE＝DF＝，

∴CF，

∴BC＝CE＝；

綜上，點D可以是△ABC的勾股點，BC的長是．