Question

【題目】已知：為等邊三角形．

（1）求作：的外接圓．(不寫作法，保留作圖痕跡)

（2）射線交于點，交于點，過作的切線，與的延長線交于點．

①根據題意，將（1）中圖形補全；

②求證：；

③若，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②見解析；③EF＝．

【解析】

（1）直接利用外接圓的作法作出三角形任意兩邊的垂直平分線，進而得出外接圓圓心，進而得出答案；
（2）①按題意畫出圖形即可；
②連接OB，OC，證明AE⊥BC．可得出AE⊥EF，則結論得證；
③得出∠BOD＝60°，設OD＝x，則OB＝OE＝2＋x，得出cos∠BOD＝，求出x＝2，得出tan∠BAD＝，則可求出EF的值．

解：（1）如圖所示：⊙O即為所求．

（2）①如圖，補全圖形：

②證明：連接OB，OC，

∵OB＝OC，
∴點O在線段BC的垂直平分線上，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB＝AC，
∴點A在線段BC的垂直平分線上，
∴AO垂直平分BC，
∴AE⊥BC．
∵直線EF為⊙O的切線，
∴AE⊥EF，
∴EF∥BC；
③∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴∠BAD＝∠BAC，
∴∠BAD＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∵DE＝2，
設OD＝x，
∴OB＝OE＝2＋x，
在Rt△OBD中，∵OD⊥BC，∠BOD＝60°，
∴cos∠BOD＝，
∴x＝2，
∴OD＝2，OB＝4，
∴AE＝8，
在△AEF中，∵AE⊥EF，∠BAD＝30°，
∴tan∠BAD＝，
∴EF＝．