Question

【題目】已知：如圖①，在矩形ABCD中，AB＝5，，AE⊥BD，垂足是E．點F是點E關于AB的對稱點，連接AF、BF．

（1）求AE和BE的長；

（2）若將△ABF沿著射線BD方向平移，設平移的距離為m（平移距離指點B沿BD方向所經過的線段長度）．當點F分別平移到線段AB、AD上時，求出相應的m的值；

（3）如圖②，將△ABF繞點B順時針旋轉一個角α（0°＜α＜180°），記旋轉中的為，在旋轉過程中，設所在的直線與直線AD交于點P，與直線BD交于點Q，若△DPQ為等腰三角形，請直接寫出此時DQ的長．

Answer 1

【答案】（1）4；3 （2）3或 （3）或

【解析】

（1）由矩形的性質，利用勾股定理求解的長，由等面積法求解，由勾股定理求解即可，

（2）利用對稱與平移的性質得到：AB∥A′B′，∠4＝∠1，BF＝B′F′＝3．當點F′落在AB上時，證明BB′＝B′F′即可得到答案，當點F′落在AD上時，證明△B′F′D為等腰三角形，從而可得答案，

（3）分4種情況討論：①如答圖3﹣1所示，點Q落在BD延長線上，證明A′Q＝A′B，利用勾股定理求解 從而求解，②如答圖3﹣2所示，點Q落在BD上，證明點A′落在BC邊上，利用勾股定理求解 從而可得答案，③如答圖3﹣3所示，點Q落在BD上，證明∠A′QB＝∠A′BQ，利用勾股定理求解，從而可得答案，④如答圖3﹣4所示，點Q落在BD上，證明BQ＝BA′，從而可得答案．

解：（1）在Rt△ABD中，AB＝5，，

由勾股定理得：．

．

在Rt△ABE中，AB＝5，AE＝4，

由勾股定理得：BE＝3．

（2）設平移中的三角形為△A′B′F′，如答圖2所示：

由對稱的性質可知，∠1＝∠2．

由平移性質可知，AB∥A′B′，∠4＝∠1，BF＝B′F′＝3．

①當點F′落在AB上時，

∵AB∥A′B′，

∴∠3＝∠4，

∴∠3＝∠2，

∴BB′＝B′F′＝3，即m＝3；

②當點F′落在AD上時，

∵AB∥A′B′，∴∠6＝∠2，

∵∠1＝∠2，∠5＝∠1，∴∠5＝∠6，

A′B′⊥AD，

∴△B′F′D為等腰三角形，

∴B′D＝B′F′＝3，

，即．

（3）DQ的長度分別為或．

在旋轉過程中，等腰△DPQ依次有以下4種情形：

①如答圖3﹣1所示，點Q落在BD延長線上，且PD＝DQ，

∠2＝2∠Q，

∵∠1＝∠3+∠Q，∠1＝∠2，

∴∠3＝∠Q，

∴A′Q＝A′B＝5，

∴F′Q＝F′A′+A′Q＝4+5＝9．

在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：．

；

②如答圖3﹣2所示，點Q落在BD上，且PQ＝DQ，∴∠2＝∠P，

∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠P，∴BA′∥PD，

∵PD∥BC，∴此時點A′落在BC邊上．

∵∠3＝∠2，∴∠3＝∠1，

∴BQ＝A′Q，∴F′Q＝F′A′﹣A′Q＝4﹣BQ．

在Rt△BQF′中，由勾股定理得：

即： 解得：，

；

③如答圖3﹣3所示，點Q落在BD上，且PD＝DQ，

∠3＝∠4．

∵∠2+∠3+∠4＝180°，∠3＝∠4，．

∵∠1＝∠2，．

，

，

∴∠A′QB＝∠A′BQ，∴A′Q＝A′B＝5，

∴F′Q＝A′Q﹣A′F′＝5﹣4＝1．

在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：，

；

④如答圖3﹣4所示，點Q落在BD上，且PQ＝PD，

∠2＝∠3．

∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＝∠3，

∴∠1＝∠4，

∴BQ＝BA′＝5，

．

綜上所述，DQ的長度分別為或．