Question

【題目】已知一個零刻度落在點A的量角器（半圓O）的直徑為AB，等腰直角△BCD繞點B旋轉．

（1）如圖1，當等腰直角△BCD運動至斜邊BD交量角器邊緣于點G，直角邊CD交量角器邊緣于點E，F，第三邊交量角器邊緣于點H時，點G在量角器上的讀數為20°，求此時點H在量角器上的讀數．

（2）如圖2，當點G，E在量角器上的讀數α，β滿足什么關系時，等腰直角△BCD的直角邊CD會與半圓O相切于點E？請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)、110°；(2)、β=α+45°

【解析】

試題分析：(1)、連接OG、OH．由題意可知：∠AOG=20°，由等腰直角三角形的性質可求得∠CBD=45°，接下來，依據圓周角定理可求得∠HOG=90°，最后依據∠AOH=∠AOG+∠GOH求解即可；(2)、連接OG、OE．先由切線的性質證明OE⊥DC，然后依據平行線的判定定理可證明EO∥CB，接下來依據平行線的性質和可得到∠EOA=∠CBA，最后結合圓周角定理以及∠ABC、∠ABG、∠DBC的關系可得到α、β的關系．

試題解析：(1)、如圖1所示：連接OG、OH．

∵點G在量角器上的讀數為20°， ∴∠AOG=20°． ∵△BCD為等腰直角三角形，

∴∠CBD=45°． ∴∠HOG=90°． ∴∠AOH=∠AOG+∠GOH=20°+90°=110°．

(2)、如圖2所示：連接OG、OE．

∵DC為圓O的切線，E為切點， ∴∠OED=90°． ∴∠OED=∠C． ∴EO∥CB．

∴∠EOA=∠CBA=β． 又∵∠GBA=∠GOA=α，∠ABC=∠ABG+∠DBC， ∴β=α+45°．