Question

【題目】如圖，AB為等腰直角△ABC的斜邊（AB為定長線段），E為AB的中點，F為AC延長線上的一個動點，線段FB的垂直平分線交線段CE于點O，D為垂足，當F點運動時，給出下列四個結論，其中一定正確的結論有_____（請填寫正確序號）

①O為△ABF的外心；②OF⊥OB；③CE+FC＝AB；④FCOB＝OEFB

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①只要證明OA=OB=OF即可．②利用“8字型”證明∠FCJ=∠JOB=90°即可．③先證明 EC+CF=AF，再判斷．④正確．證明△OEB∽△FCB即可．

如圖，連接AO．

∵CA＝CB，AE＝EB，

∴CE⊥AB，

∴OA＝OB，

∵OD垂直平分線段BF，

∴OF＝OB，

∴OA＝OF＝OB，

∴點O是△ABF的外心，故①正確，

設BC交OF于J．

∵AC＝BC，CO＝CO，AO＝BO，

∴△ACO≌△BCO（SSS），

∴∠CAO＝∠CBO，

∵OA＝OF，

∴∠CAO＝∠CFJ，

∴∠CFJ＝∠OBJ，

∵∠CJF＝∠OJB，

∴∠JOB＝∠JCF＝90°，

∴OF⊥OB，故②正確，

∵CE＝AC，AC+CF＝AF，

顯然AF不一定等于AB，故③錯誤．

∵∠EBC＝∠OBF＝45°，

∴∠EBO＝∠CBF，

∵∠OEB＝∠FCB＝90°，

∴△OEB∽△FCB，

∴ ∴FCOB＝OEFB，故④正確，

故答案為：①②④．