Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，∠AOC的平分線交AB于點D，E為BC的中點，已知A(0，4)、C(5，0)，二次函數 的圖象拋物線經過A、C兩點．

（1）求該二次函數的表達式；
（2）F，G分別為x軸、y軸上的動點，首尾順次連接D、E、F、G構成四邊形DEFG，求四邊形DEFG周長的最小值；
（3）拋物線上是否存在點P，使△ODP的面積為8？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）∵二次函數 的圖象經過A（0，4）、C（5，0）兩點，
∴ 解得
∴二次函數的解析式為
（2）∵四邊形OABC為矩形，
∴∠BAO＝∠AOC＝90°，AB＝OC＝5，BC＝OA＝4，
∴B（5，4），
∵E為BC中點，
∴E（5，2），
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠DOC＝45°，
∴∠ADO＝∠AOD＝45°，
∴AD＝OA＝4，
∴D（4，4），
∴DE＝ ，
作D關于y軸的對稱點D′，作E關于x軸的對稱點E′，連接D′G、E′F，如下圖所示：

則D′（－4，4），E′（5，－2），且D′G＝DG，E′F＝EF，
∵在 E′BD′中，∠E′BD′＝90°，BD′＝5－（－4）＝9，E′B＝4－（－2）＝6，
∴E′D′＝ ，
∵四邊形DEFG的周長＝DE＋EF＋FG＋GD＝DE＋ E′F＋FG＋ GD′≥DE＋ E′D′，
∴四邊形DEFG的周長最小值為DE+ E′D′，
∴四邊形DEFG周長的最小值是
（3）解：∵點D的坐標是（4，4），
∴OD＝ ，
又∵使△ODP的面積為8，
∴點P到直線OD的距離為 ，
過點O作OF⊥OD，取OF= ，過點F作直線FG∥OD，交拋物線與點P1，P2，則，∠OFG＝90°，如圖所示：

∵∠DOC＝45°（已求），
∴∠COF＝∠FOG＝45°，
在直角 中，OF＝ ，
∴OG＝ ＝4，
∴直線GF的解析式為y=x-4,
把y=x-4代入 中，得 ，
解得x1=4,x2=10,
把x1=4,x2=10代入y=x-4中，得y1=0,y2=6,
∴P1(4,0),P2(10,6),
過點O作OF⊥OD，取OF= ，過點F作直線FG交拋物線與P3，P4，如下圖所示：

∵∠DOC＝45°（已求），
∴∠DOA＝∠AOF＝∠GOF=45°，
在直角 中，OF＝ ，
∴OG＝ ＝4，
∴直線GF的解析式為y=x+4,
把y=x+4代入 中，得 ，
解得x1=0,x2=14,
把x1=0,x2=14代入y=x+4中，得y1=4,y2=18,
∴P1(0,4),P2(14,18),
所以綜合上述可得，P1(4，0) 、 P2(10，6) 、P3(0，4) 、 P4(14，18)
【解析】（1）把A、C坐標代入解析式，解方程組，即可求出解析式；（2）利用對稱法，做出D關于y軸的對稱點D′，作E關于x軸的對稱點E′，當D'、E'、F、G四點共線時，周長最小;（3）以OD為底邊，使△ODP的面積為8，則點P到直線OD的距離為 2 ,在OD兩側作平行于OD的直線，使直線與直線OD的距離為 2 ，與拋物線交于4個點，解方程組，求出坐標.