Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，A（﹣3，0），點 B是 y軸正半軸上一動點，點C、D在 x正半軸上．

（1）如圖，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE 是△ABC的兩條角平分線，且BD、CE交于點F，直接寫出CF的長_____．

（2）如圖，△ABD是等邊三角形，以線段BC為邊在第一象限內作等邊△BCQ，連接 QD并延長，交 y軸于點 P，當點 C運動到什么位置時，滿足 PD＝DC？請求出點C的坐標；

（3）如圖，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABP，點B在 y軸上運動時，求OP的最小值．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）C的坐標為（12，0）；（3）.

【解析】

（1）作∠DCH＝10°，CH 交 BD 的延長線于 H，分別證明△OBD≌△HCD 和△AOB≌△FHC，根據全等三角形的對應邊相等解答；

（2）證明△CBA≌△QBD，根據全等三角形的性質得到∠BDQ＝∠BAC＝60°，求出 CD，得到答案；

（3）以 OA 為對稱軸作等邊△ADE，連接 EP，并延長 EP 交 x 軸于點 F．證明點 P 在直線 EF 上運動，根據垂線段最短解答．

解：（1）作∠DCH＝10°，CH 交 BD 的延長線于 H，

∵∠BAO＝60°，

∴∠ABO＝30°，

∴AB＝2OA＝6，

∵∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，

∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，

∵BD 是△ABC 的角平分線，

∴∠ABD＝∠CBD＝40°，

∴∠CBD＝∠DCB，∠OBD＝40°﹣30°＝10°，

∴DB＝DC，

在△OBD 和△HCD 中，

∴△OBD≌△HCD（ASA），

∴OB＝HC，

在△AOB 和△FHC 中，

∴△AOB≌△FHC（ASA），

∴CF=AB=6，

故答案為6；

（2）∵△ABD 和△BCQ 是等邊三角形，

∴∠ABD＝∠CBQ＝60°，

∴∠ABC＝∠DBQ，

在△CBA 和△QBD 中，

∴△CBA≌△QBD（SAS），

∴∠BDQ＝∠BAC＝60°，

∴∠PDO＝60°，

∴PD＝2DO＝6，

∵PD＝DC，

∴DC＝9，即 OC＝OD+CD＝12，

∴點 C的坐標為（12，0）；

（3）如圖3，以 OA為對稱軸作等邊△ADE，連接 EP，并延長 EP交 x 軸于點F．

由（2）得，△AEP≌△ADB，

∴∠AEP＝∠ADB＝120°，

∴∠OEF＝60°，

∴OF＝OA＝3，

∴點P在直線 EF上運動，當 OP⊥EF時，OP最小，

∴OP＝OF＝

則OP的最小值為．