Question

【題目】如圖，點A，B，C三點均在⊙O上，⊙O外一點F，有OA⊥CF于點E，AB與CF相交于點G，有FG＝FB，AC∥BF．

(1)求證：FB是⊙O的切線．

(2)若tan∠F＝，⊙O的半徑為，求CD的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)CD＝16.

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質，可得∠OAB=∠OBA，∠FGB=∠FBG，可得∠FBG+∠OBA=90°，則結論得證；

（2）根據平行線的性質，可得∠ACF=∠F，根據等角的正切值相等，可得AE，根據勾股定理，可得答案．

(1)∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA，

∵OA⊥CD，

∴∠OAB+∠AGC＝90°．

∴∠OBA+∠AGC＝90°，

∵FG＝FB；

∴∠FGB＝∠FBG，

∵∠AGC＝∠FGB，

∴∠AGC＝∠FBG，

∴∠FBG+∠OBA＝90°，

∴∠FBO＝90°，

∴FB與⊙O相切，

(2)如圖，設CD＝a，

∵OA⊥CD，

∴CE＝CD＝a．

∵AC∥BF，

∴∠ACF＝∠F，

∵tan∠F＝，

tan∠ACF＝，

即，

∴AE＝，

連接OC，OE＝，

∵CE2+OE2＝OC2，

∴ ，

解得：a＝16，

∴CD＝16．