Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB＝BD，點E、F分別是線段AB、AD上的動點（不與端點重合），且AE＝DF，BF與DE相交于點G．給出如下幾個結論：①△AED≌△DFB；②∠BGE大小會發生變化；③CG平分∠BGD；④若AF＝2DF，則BG＝6GF；．其中正確的結論有_____（填序號）．

Answer 1

【答案】①③④．

【解析】

根據菱形的性質得到AB＝AD，推出△ABD為等邊三角形，得到∠A＝∠BDF＝60°，根據全等三角形的判定得到△AED≌△DFB；過點C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如圖1），根據全等三角形的性質得到CN＝CM，根據角平分線的定義得到CG平分∠BGD；過點F作FP∥AE交DE于P點（如圖2），根據平行線分線段成比例定理得到BG＝6GF；推出B、C、D、G四點共圓，根據圓周角定理得到∠BGC＝∠BDC＝60°，∠DGC＝∠DBC＝60°，求得∠BGC＝∠DGC＝60°，過點C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如圖1），推出S四邊形BCDG＝S四邊形CMGN，于是得到S四邊形CMGN＝2S△CMG＝2××CG×CG＝CG2．

解：①∵ABCD為菱形，

∴AB＝AD，

∵AB＝BD，∴△ABD為等邊三角形，

∴∠A＝∠BDF＝60°，

又∵AE＝DF，AD＝BD，

∴△AED≌△DFB（SAS），故本選項①正確；

②∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°，為定值，

故本選項②錯誤；

③過點C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如圖1），

則△CBM≌△CDN（AAS），

∴CN＝CM，

∵CG＝CG，

∴Rt△CNG≌Rt△CMG（HL），

∴∠DGC＝∠BGC，

∴CG平分∠BGD；故本選項③正確；

④過點F作FP∥AE交DE于P點（如圖2），

∵AF＝2FD，

∴FP：AE＝DF：DA＝1：3，

∵AE＝DF，AB＝AD，

∴BE＝2AE，

∴FP：BE＝FP：2AE＝1：6，

∵FP∥AE，

∴PF∥BE，

∴FG：BG＝FP：BE＝1：6，

即BG＝6GF，故本選項④正確；

⑤∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°＝∠BCD，

即∠BGD+∠BCD＝180°，

∴點B、C、D、G四點共圓，

∴∠BGC＝∠BDC＝60°，∠DGC＝∠DBC＝60°，

∴∠BGC＝∠DGC＝60°，

過點C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如圖1），

則△CBM≌△CDN（AAS），

∴S四邊形BCDG＝S四邊形CMGN，

S四邊形CMGN＝2S△CMG，

∵∠CGM＝60°，

∴GM＝CG，CM＝CG，

∴S四邊形CMGN＝2S△CMG＝2××CG×CG＝CG2，故本選項⑤錯誤；

綜上所述，正確的結論有①③④，共3個，

故答案為①③④．