Question

【題目】已知，點D、E、F分別是等邊△ABC的三條邊AB、BC、CA上的點．
（1）如圖（1），若ED⊥AB，DF⊥AC，FE⊥BC，求證：△DEF是等邊三角形；

（2）如圖（2），若AD=BE=CF，求證：△DEF是等邊三角形；

（3）如圖（3），若△DEF是等邊三角形，求證：AD=BE=CF．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1中，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°，

∵ED⊥AB，D⊥AC，EF⊥CB，

∴∠BDE=∠DFA=∠FEC=90°，

∴∠BED=∠ADF=∠CFE=30°，

∴∠EDF=∠DFE=∠FED=60°，

∴△DEF是等邊三角形．

（2）

證明：如圖2中，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA，

∵AD=BE=CF，

∴BD=EC=AF，

在△ADF、△BED和△CFE中

，

∴△ADF≌△BED≌△CFE，

∴DE=EF=FD，

∴△DEF是等邊三角形；

（3）

證明：如圖3中，

∵△ABC，△DEF是等邊三角形，

∴∠A=∠B=60°，DF=DE，且∠FDE=60°，

∴∠BAD+∠ADF=∠ADF+∠AFD=120°，

∴∠AFD=∠BDE，

在△ADF和△BED中，

，

∴△ADF≌△BED（AAS），

同理可得：△ADF≌△CFE，

∴△ADF≌△CFE≌△BED；

∴AD=BE=CF．

【解析】（1）只要證明∠EDF=∠DFE=∠FED=60°即可解決問題．（2）根據等邊三角形的性質得出∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA，AD=BE=CF，進一步證得BD=EC=AF，即可證得△ADF≌△BED≌△CFE，根據全等三角形的性質得出DE=EF=FD，即可證得△DEF是等邊三角形；（3）由等邊三角形的性質可知∠A=∠B=60°，DF=DE，且∠FDE=60°，所以可得出∠AFD=∠BDE，從而可證得△ADF≌△BED，同理可證得其它三角形全等，利用全等三角形的性質證得結論