Question

【題目】在平面直角坐標系中，點，點.已知拋物線（是常數），頂點為.

（Ⅰ）當拋物線經過點時，求頂點的坐標；

（Ⅱ）若點在軸下方，當時，求拋物線的解析式；

（Ⅲ） 無論取何值，該拋物線都經過定點.當時，求拋物線的解析式.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.

【解析】（Ⅰ）把點A（1，0）代入求出m的值，從而確定二次函數解析式，進而求出頂點P的坐標；

（Ⅱ）先由函數解析式得出頂點坐標為.再結合已知條件可知，從而求出，.再進行分類討論得到拋物線解析式為；

（Ⅲ）由 可知，定點H的坐標為，過點作，交射線于點，分別過點，作軸的垂線，垂足分別為，，則可證.得點的坐標為或.然后進行分類討論即可求解.

（Ⅰ）∵拋物線經過點，

∴，解得.

∴拋物線的解析式為.

∵ ，

∴頂點的坐標為.

（Ⅱ）拋物線的頂點的坐標為.

由點在軸正半軸上，點在軸下方，，知點在第四象限.

過點作軸于點，則.

可知，即，解得，.

當時，點不在第四象限，舍去.

∴.

∴拋物線解析式為.

（Ⅲ）由 可知，

當時，無論取何值，都等于4.

得點的坐標為.

過點作，交射線于點，分別過點，作軸的垂線，垂足分別為，，則.

∵，，

∴.∴.

∵ ，

∴.

∴.

∴，.

可得點的坐標為或.

當點的坐標為時，可得直線的解析式為.

∵點在直線上，

∴.解得，.

當時，點與點重合，不符合題意，∴.

當點的坐標為時，

可得直線的解析式為.

∵點在直線上，

∴ .解得（舍），.

∴.

綜上，或.

故拋物線解析式為或.