Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，拋物線y＝﹣（x+1）2+4與x軸交于點A、B，與y軸交于點C．

（1）寫出拋物線頂點D的坐標　 　；

（2）點D1是點D關于y軸的對稱點，判斷點D1是否在直線AC上，并說明理由；

（3）若點E是拋物線上的點，且在直線AC的上方，過點E作EF⊥x軸交線段AC于點F，求線段EF的最大值．

Answer 1

【答案】(1) （﹣1，4）；(2)見解析;(3) 2.25.

【解析】

（1）根據二次函數的解析式直接寫出即可；

（2）先根據二次函數求出A、C的坐標，再用待定系數法確定直線AC的關系式，再求出

點D1，把它代入直線判斷是否再直線上；

（3）設點E（x，﹣x2﹣2x+3），F（x，x+3），則EF＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+1.5）2+2.25， 則可知x=-1.5時，EF的最大值2.25.

解：（1）∵y＝﹣（x+1）2+4，

∴拋物線頂點D的坐標是（﹣1，4）．

故答案為（﹣1，4）；

（2）點D1在直線AC上，理由如下：

∵拋物線y＝﹣（x+1）2+4與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，

∴當y＝0時，﹣（x+1）2+4＝0，解得x＝1或﹣3，A（﹣3，0），B（1，0），

當x＝0時，y＝﹣1+4＝3，C（0，3）．

設直線AC的解析式為y＝kx+b，

由題意得，解得，

∴直線AC的解析式為y＝x+3．

∵點D1是點D關于y軸的對稱點，D（﹣1，4）．

∴D1（1，4），

∵x＝1時，y＝1+3＝4，

∴點D1在直線AC上；

（3）設點E（x，﹣x2﹣2x+3），則F（x，x+3），

∵EF＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+1.5）2+2.25，

∴線段EF的最大值是2.25．