Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，C，D是半圓O上的兩點，弧AC=弧BD，AE與弦CD的延長線垂直，垂足為E．

（1）求證：AE與半圓O相切；

（2）若DE=2，AE=，求圖中陰影部分的面積

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

從問題入手，根據切線的判定可知，要證明AE與半圓O相切，必須證明AE⊥AB, 由已知條件：AE與弦CD的延長線垂直，進而須證明，聯想證平行的辦法與弧建立聯系；

作輔助線，構建直角三角形，先由勾股定理可得：,由直角三角形斜邊中線的性質求得：ED=EF=DF=2, 則△DEF是等邊三角形，再求得△AOD是等邊三角形，根據面積差可得陰影部分的面積．

（1）證明：連接AC，

（2）解：連接AD，取AD的中點F，連接EF、OD，

∵F是AD的中點，

∴ED=EF=DF=2，

∴△DEF是等邊三角形，

∴∠EDA=60°，

由（1）知：AB∥CF

∴∠DAO=∠EDA=60°，

∵OA=OD，

∴△AOD是等邊三角形，

∴∠AOD=60°，OA=AD=4，