Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，△ABD、△ACE、△BCF都是等邊三角形，則四邊形AEFD的面積S=__________.

Answer 1

【答案】30

【解析】∵△ABD，△ACE都是等邊三角形，

∴∠DAB=∠EAC=60°，

∵∠BAC=105°，

∴∠DAE=135°，

∵△ABD和△FBC都是等邊三角形，

∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，

∴∠DBF=∠ABC.

在△ABC與△DBF中，

，

∴△ABC≌△DBF(SAS)，

∴AC=DF=AE=12，

同理可證△ABC≌△EFC，

∴AB=EF=AD=5，

∴四邊形DAEF是平行四邊形(兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形).

∴∠FDA=180°∠DAE=30°，

∴SAEFD=AD(DFsin45°)=5×(12×)=30.

即四邊形AEFD的面積是30，

故答案為：30.

點睛:本題綜合考查了勾股定理得逆定理,平行四邊形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì),綜合性比較強,難度較大,有利于培養(yǎng)學生綜合運用知識進行推理和計算的能力.