Question

【題目】閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個問題：如圖1，在正方形ABCD中，點E是邊BC的中點，點F是線段AE上一點，BF的延長線交射線CD于點G，若AB=6，AF=4EF，求CG的值與∠AFB的度數．

他的做法是：過點E作EH∥AB交BG于點H，得到△BAF∽△HEF（如圖2）．

（1）CG等于多少，∠AFB等于多少度；

參考小明思考問題的方法，解決下列問題；

（2）如圖3，在矩形ABCD中，點E是邊BC的中點，點F是線段AE上一點，BF的延長線交射線CD于點G，若AF=3EF，求的值；

（3）如圖4，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD上的點，BF和DE相交于點G，且AB=kAD，∠DAG=∠BAC，求出的值（用含k的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）CG=3，∠AFB=90°；（2）；（3）．

【解析】

（1）過點E作EH∥CD交BG于點H，根據正方形的性質和相似三角形的判定定理得到△EFH∽△AFB，根據相似三角形的性質得到CG=AB=3；

（2）仿照（1）的解答思路計算即可；

（3）延長AG交DC于M，延長DE交AB的延長線于N，根據相似三角形的判定定理和性質定理解答．

（1）過點E作EH∥CD交BG于點H，

∴△BEH∽△BCG，∴，

∵點E是邊BC的中點，∴BC=2BE，∴CG=2HE，

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，

∴EH∥AB，∴△EFH∽△AFB，

∴，∵AF=4EF，∴AB=4EH，

∴CG=AB=3，∵CD=6，∴CG=BE，

在△ABE和△BCG中，，

∴△ABE≌△BCG，∴∠BAE=∠CBG，

∵∠ABF+∠CBG=90°，∴∠BAE+∠ABF=90°，∴∠AFB=90°，

（2）如圖3，同（1）方法得出，CG=2HE，

同（1）的方法得出，，

∵AF=3EF，∴AB=3EH，∴EH=AB，

∴CG=2EH=AB，∴；

（3）延長AG交DC于M，延長DE交AB的延長線于N，

∵∠DAG=∠BAC，∠ADM=∠ABC，

∴△ADM∽△ABC，∴=k，

∵點E是邊BC的中點，∴，

∵DC∥AB，點E是邊BC的中點，

∴AB=DC=BN，∵DC∥AB，

∴，，

∴，又AB=AN，

∴DF=DM，又，

∴．