Question

【題目】如圖，在矩形中，，，點從點出發，沿對角線向點勻速運動，速度為，過點作交于點，以為一邊作正方形，使得點落在射線上．點從點出發，沿向點勻速運動，速度為，以為圓心，半徑作．點與點同時出發，設它們的運動時間為(單位：)．

（1）如圖1，連接，若平分，則的值為__________；

（2）如圖2，連接，設的面積為，求關于t的函數關系式；

（3）在運動過程中，當為何值時，與第一次相切？

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）．

【解析】

（1）首先根據題意得出DB的長，然后證明△BPQ~△BCD，據此利用相似三角形性質分析得出、、，最后利用角平分線性質進一步求解即可；

（2）過點作于點，先證明△HMQ~△PQB，由此得出，最后根據三角形面積公式進一步計算即可；

（3）設與相切于點，連接，作于點，易得，然后進一步證明△DFO~△DCB，由此進一步求解即可.

（1）∵四邊形為矩形，

∴、，∠A=∠C=90°，

∴，

∵四邊形為正方形，

∴90°，

∵，

∴△BPQ~△BCD，

∴，即，

則、，

∴，

∵平分，

∴，即，解得：，

故答案為：1；

（2）如圖，過點作于點，

∴90°，

則90°，

∴，

∴△HMQ~△PQB，

∴，即，則，

∴；

（3）如圖，設與相切于點，連接，作于點，

則四邊形為矩形，

∴，90°，

∵，

∴△DFO~△DCB，

∴，

即，

解得：．