Question

【題目】如圖，BE、CF是△ABC的高且相交于點P，AQ∥BC交CF延長線于點Q，若有BP=AC，CQ=AB，線段AP與AQ的關系如何？說明理由。

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】試題分析：

由BE、CF是△ABC的高，易得∠ABP+∠BPF=90°，∠ACP+∠CPE=90°，結合∠BPF=∠CPE，易得∠ABP=∠ACP，這樣結合BP=AC，CQ=AB，即可由“SAS”證得△ACQ≌△PBA，從而可得AP=AQ，∠Q=∠PAF，結合∠PAF+∠APF=90°，可得：∠APF+∠Q=90°，即可得到∠QAP=90°，從而可得AQ⊥AP，由此即可得到AQ與AP的關系是相等且互相垂直.

試題解析：

AQ與AP的關系是：相等且互相垂直，理由如下：

∵BE、CF是△ABC的高，

∴∠BFP=∠CEP=90°，

∴∠ABP+∠BPF=90°，∠ACP+∠CPE=90°，

又∵∠BPF=∠CPE，

∴∠ABP=∠ACP，

在△ACQ和△PBA中：

，

∴△ACQ≌△PBA（SAS），

∴AP=AQ，∠Q=∠PAF，

∵∠PAF+∠APF=90°，

∴∠APF+∠Q=90°，

∴AP⊥AQ，即：AQ與AP的關系是相等且互相垂直.