Question

【題目】已知：△ABC是三邊都不相等的三角形，點O和點P是這個三角形內部兩點．
（1）如圖①，如果點P是這個三角形三個內角平分線的交點，那么∠BPC和∠BAC有怎樣的數量關系？請說明理由；
（2）如圖②，如果點O是這個三角形三邊垂直平分線的交點，那么∠BOC和∠BAC有怎樣的數量關系？請說明理由；
（3）如圖③，如果點P（三角形三個內角平分線的交點），點O（三角形三邊垂直平分線的交點）同時在不等邊△ABC的內部，那么∠BPC和∠BOC有怎樣的數量關系？請直接回答．

Answer 1

【答案】（1）∠BPC=90°+∠BAC，理由見解析；（2）∠BOC=2∠BAC
，理由見解析；（3）4∠BPC-∠BOC=360°，理由見解析；

【解析】

（1）根據三角形角平分線的性質以及三角形內角和定理推導即可；
（2）根據三角形垂直平分線的性質以及三角形內角和定理推導即可；
（3）結合（1）（2）的結論∠BPC=90°+∠BAC、∠BOC=2∠BAC，通過等量代換即可．

解：（1）∠BPC=90°+∠BAC
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠BAC）
=90°+∠BAC；
（2）∠BOC=2∠BAC
如圖，連接AO．

∵點O是這個三角形三邊垂直平分線的交點，
∴OA=OB=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，
∴∠AOB=180°-2∠OAB，∠AOC=180°-2∠OAC，
∴∠BOC=360°-（∠AOB+∠AOC）
=360°-（180°-2∠OAB+180°-2∠OAC），
=2∠OAB+2∠OAC
=2∠BAC；
（3）4∠BPC-∠BOC=360°，
∵點P為三角形三個內角平分線的交點，
∴∠BPC=90°+∠BAC
由∠BAC=2∠BPC-180°
點O為三角形三邊垂直平分線的交點
∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOC=2（2∠BPC-180°）=4∠BPC-360°，
即4∠BPC-∠BOC=360°．