Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，BC是⊙O的直徑，弦AF交BC于點E，∠CAF＝2∠B．

（1）求證：AE＝AC；

（2）若⊙O的半徑為4，E是OB的中點，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）EF＝

【解析】

（1）過A作AH⊥CE于H，結合直徑所對的圓周角是直角，得到∠ACB的余角∠CAH＝∠ABC，結合∠CAF＝2∠ABC，得到∠EAH＝∠CAH，依據ASA證明△ACH≌△AEH，依據全等的性質即可；

（2）連接BF，先根據半徑是4，及E是OB的中點，求出CE、BE；然后利用第（1）問∠CAH＝∠ABC，及公共角∠C證明△CAH∽△CBA，依據相似的性質求得AC、AE，再依據同弧所對的圓周角相等，得到證明△CAE∽△FBE的條件，依據相似的性質即可求得EF的長．

（1）證明：過A作AH⊥CE于H，

又∵BC是⊙O的直徑，

∴∠CAB＝∠AHC＝∠AHE＝90°，

∴∠ACB+∠ABC＝∠ACB+∠CAH＝90°，

∴∠CAH＝∠ABC，

又∵∠CAF＝2∠ABC，

∴∠EAH＝∠CAH，

又∵AH＝AH，

∴△ACH≌△AEH（ASA），

∴AC＝AE；

（2）解：連接BF，

∵⊙O的半徑為4，

∴BC＝8，

∵E是OB的中點，

∴BE＝OE＝2，

∴CE＝6，

∴CH＝CE＝3，

∵∠CAH＝∠ABC，∠C＝∠C，

∴△CAH∽△CBA，

∴,

∴AC2＝CHCB＝3×8＝24，

∴AE＝AC＝2，

∵∠F＝∠C，∠FBE＝∠CAE，

∴△CAE∽△FBE，

∴，

∴，

∴EF＝．